Questions mathématiques diverses

Question 98:
Calculer l'intégrale suivante : $$I=\int_{0}^{\frac{\pi^2}{4}}{\left({2\sin\left({\sqrt{x}}\right)+\sqrt{x}\cos\left({\sqrt{x}}\right)}\right)dx}$$

Réponse 98:
On pose $f(x)=2\sin\left({\sqrt{x}}\right)$
$f$ est dérivable sur $\left]{0,+\infty}\right[$ et $xf'(x)=\sqrt{x}\cos\left({\sqrt{x}}\right)$
$$I=\lim\limits_{a \to 0^+}\int_{a}^{\frac{\pi^2}{4}}{\left({f(x)+xf'(x)}\right)dx}$$ $\iff I=\lim\limits_{a \to 0^+}\left[{xf(x)}\right]_a^{\frac{\pi^2}{4}} =\dfrac{\pi^2}{2}$