Questions mathématiques diverses

Question 97:
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\left[{0,1}\right]$ telle que $f(0)=0$ et $\forall x\in [0,1]$ $|f'(x)|\leqslant kf(x)$ où $k>0$
Montrer que pour tout $x\in [0,1], f(x)=0$

Réponse 97:
$0\leqslant |f'(x)|\leqslant kf(x)$ $\Longrightarrow $ Pour tout $x\in [0,1]$ $f(x)\geqslant 0\quad (*)$ $$\begin{align*} &|f'(x)|\leqslant kf(x)\\ \Longrightarrow &-kf(x)\leqslant f'(x)\leqslant kf(x)\\ \Longrightarrow &f'(x)-kf(x)\leqslant 0\\ \Longrightarrow &e^{-kx}\left({f'(x)-kf(x)}\right)\leqslant 0 \end{align*}$$ Donc la fonction $g:x\longmapsto f(x)e^{-kx}$ est décroissante sur $[0,1]$
Alors $\forall x\in[0,1];\; g(x)\leqslant g(0)=0$ $\iff \forall x\in[0,1];\; f(x)\leqslant 0\quad (**)$