Questions mathématiques diverses

Question 96:
Soient $E$ et $F$ deux événements indépendants tels que : $P(E\cap F)=\dfrac{1}{6}$; $P(\overline{E}\cap \overline{F})=\dfrac{1}{3}$ et $\left({P(E)-P(F)}\right)(1-P(F))>0$.
Déterminer $P(E)$ et $P(F)$.

Réponse 96:
$P(E\cap F)=P(E)P(F)=\dfrac{1}{6}$ et $P(\overline{E}\cap \overline{F})=P(\overline{E})P(\overline{F})=\dfrac{1}{3}$ $\Longrightarrow (1-P(E))(1-P(F))=\dfrac{1}{3}$ $\Longrightarrow 1-\left({P(E)+P(F)}\right)+P(E)P(F)=\dfrac{1}{3}$ $\Longrightarrow P(E)+P(F)=\dfrac{5}{6}$ donc $P(E)$ et $P(F)$ sont les solutions de l'équation $x^2-\dfrac{5}{6}x+\dfrac{1}{6}=0$.
On trouve $\left\{{P(E),P(F)}\right\}=\left\{{\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}}\right\}$
Or $\left({P(E)-P(F)}\right)(1-P(F))>0$ $\Longrightarrow P(E)>P(F)$