Questions mathématiques diverses

Question 95:
Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose $S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$
et $T_n=S_1+S_2+S_3+...+S_{n-1}\quad(n>1)$
Exprimer $T_n$ en fonction de $n$ et $S_n$

Réponse 95:
$$\begin{align*} S_1&=1\\ S_2&=1+\dfrac{1}{2}\\ S_3&=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\\ S_4&=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\\ ...\\ S_{n-1}&=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}\\ \end{align*}$$ En faisant la somme membre à membre , on trouve : $$\begin{align*} T_n&=(n-1)+\dfrac{n-2}{2}+\dfrac{n-3}{3}+...+\dfrac{n-(n-1)}{n-1}\\ &=(n-1)+\left({\dfrac{n}{2}-1}\right)+\left({\dfrac{n}{3}-1}\right)+...+\left({\dfrac{n}{n-1}-1}\right)\\ &=n\left({1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}}\right)-(n-1)\\ &=n\left({S_n-\dfrac{1}{n}}\right)-n+1\\ &= \boxed{n\left({S_n-1}\right)} \end{align*}$$