Questions mathématiques diverses

Question 93:
Soit ff une fonction dérivable sur ]0,+∞[]0,+\infty[ telle que f(1)=1f(1)=1 et pour tout réel x>0,  lim⁡t→xt2f(x)−x2f(t)t−x=1x>0,\;\lim\limits_{t \to x}\dfrac{t^2f(x)-x^2f(t)}{t-x}=1.
Déterminer f(x)f(x) pour tout réel x>0x>0
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Soit $f$ une fonction dérivable sur $]0,+\infty[$ telle que $f(1)=1$ et pour tout réel $x>0,\;\lim\limits_{t \to x}\dfrac{t^2f(x)-x^2f(t)}{t-x}=1$.

Déterminer $f(x)$ pour tout réel $x>0$
Réponse 93:
lim⁡t→xt2f(x)−x2f(t)t−x=1  ⟺  lim⁡t→xf(x)(t2−x2)−x2(f(t)−f(x))t−x=1  ⟺  lim⁡t→x(f(x)(t+x)−x2f(t)−f(x)t−x)=1  ⟺  2xf(x)−x2f′(x)=1  ⟺  x2f′(x)−2xf(x)(x2)2=−1x4  ⟺  ddx(f(x)x2)=−1x4  ⟺  f(x)x2=13x3+λ  ⟺  f(x)=13x+λx2or  f(1)=1⟹13+λ=1⟹λ=23\begin{align*} &\lim\limits_{t \to x}\dfrac{t^2f(x)-x^2f(t)}{t-x}=1\\ \iff&\lim\limits_{t \to x}\dfrac{f(x)(t^2-x^2)-x^2(f(t)-f(x))}{t-x}=1\\ \iff&\lim\limits_{t \to x}\left({ f(x)(t+x)-x^2\dfrac{f(t)-f(x)}{t-x}}\right)=1\\ \iff&2xf(x)-x^2f'(x)=1\\ \iff&\dfrac{x^2f'(x)-2xf(x)}{(x^2)^2}=-\dfrac{1}{x^4}\\ \iff&\dfrac{d}{dx}\left({\dfrac{f(x)}{x^2}}\right)=-\dfrac{1}{x^4}\\ \iff&\dfrac{f(x)}{x^2}=\dfrac{1}{3x^3}+\lambda\\ \iff&f(x)=\dfrac{1}{3x}+\lambda x^2\\ or\;f(1)&=1\Longrightarrow\dfrac{1}{3}+\lambda=1\Longrightarrow \lambda=\dfrac{2}{3} \end{align*} f(x)=13x+23x2\boxed{f(x)=\dfrac{1}{3x}+\dfrac{2}{3}x^2}

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