Questions mathématiques diverses

Question 93:
Soit $f$ une fonction dérivable sur $]0,+\infty[$ telle que $f(1)=1$ et pour tout réel $x>0,\;\lim\limits_{t \to x}\dfrac{t^2f(x)-x^2f(t)}{t-x}=1$.
Déterminer $f(x)$ pour tout réel $x>0$

Réponse 93:
$$\begin{align*} &\lim\limits_{t \to x}\dfrac{t^2f(x)-x^2f(t)}{t-x}=1\\ \iff&\lim\limits_{t \to x}\dfrac{f(x)(t^2-x^2)-x^2(f(t)-f(x))}{t-x}=1\\ \iff&\lim\limits_{t \to x}\left({ f(x)(t+x)-x^2\dfrac{f(t)-f(x)}{t-x}}\right)=1\\ \iff&2xf(x)-x^2f'(x)=1\\ \iff&\dfrac{x^2f'(x)-2xf(x)}{(x^2)^2}=-\dfrac{1}{x^4}\\ \iff&\dfrac{d}{dx}\left({\dfrac{f(x)}{x^2}}\right)=-\dfrac{1}{x^4}\\ \iff&\dfrac{f(x)}{x^2}=\dfrac{1}{3x^3}+\lambda\\ \iff&f(x)=\dfrac{1}{3x}+\lambda x^2\\ or\;f(1)&=1\Longrightarrow\dfrac{1}{3}+\lambda=1\Longrightarrow \lambda=\dfrac{2}{3} \end{align*}$$ $\boxed{f(x)=\dfrac{1}{3x}+\dfrac{2}{3}x^2}$