Questions mathématiques diverses

Question 92:
Soient $\alpha, \beta$ et $A$ des réels tels que $A\neq k\dfrac{\pi}{2}$ avec $k\in \Z$
Montrer que si $\dfrac{\sin \alpha}{\sin A}+\dfrac{\cos \alpha}{\cos A}=\dfrac{\sin \beta}{\sin A}+\dfrac{\cos \beta}{\cos A}=1$ alors $\dfrac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos^2A}+\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin^2A}=-1$

Réponse 92:
$\alpha$ et $\beta$ sont deux solutions de l'équation $\dfrac{\sin \theta}{\sin A}+\dfrac{\cos\theta}{\cos A}=1\quad (*)$ $$\begin{align*} &\dfrac{\sin \theta}{\sin A}+\dfrac{\cos\theta}{\cos A}=1\\ &\Longrightarrow\dfrac{\cos \theta}{\cos A}=1-\dfrac{\sin \theta}{\sin A}\\ &\Longrightarrow\dfrac{1-\sin^2\theta}{\cos^2 A}=\left({1-\dfrac{\sin\theta}{\sin A}}\right)^2\\ &\Longrightarrow \dfrac{1-\sin^2\theta}{\cos^2 A}=1-2\dfrac{\sin\theta}{\sin A}+\dfrac{\sin^2\theta}{\sin^2 A}\\ &\Longrightarrow 1-\dfrac{1}{\cos^2 A}-2\dfrac{\sin\theta}{\sin A}+\left({\dfrac{1}{\sin^2 A}+\dfrac{1}{\cos^2 A}}\right)\sin^2\theta=0\\ &\Longrightarrow \dfrac{\cos^2 A-1}{\cos^2 A}-2\dfrac{\sin\theta}{\sin A}+\dfrac{\sin^2\theta}{\sin^2 A\cos^2 A}=0\\ &\Longrightarrow -\dfrac{\sin^2 A}{\cos^2 A}-2\dfrac{\sin\theta}{\sin A}+\dfrac{\sin^2\theta}{\sin^2 A\cos^2 A}=0\\ &\Longrightarrow \left({\dfrac{\sin\theta}{\sin A}}\right)^2-2\dfrac{\sin\theta}{\sin A}.\cos^2 A-\sin^2 A=0 \end{align*}$$ $\alpha$ et $\beta$ sont deux solutions de l'équation $(*)$ donc $\alpha$ et $\beta$ sont deux solutions de la dernière équation alors $\dfrac{\sin\alpha}{\sin A}.\dfrac{\sin\beta}{\sin A}=-\sin^2 A$ ou encore $\dfrac{\sin\alpha \sin\beta}{\sin^2 A}=-\sin^2 A$
De la même façon, en écrivant $\dfrac{1-\cos^2\theta}{\sin^2 A}=\left({1-\dfrac{\cos\theta}{\cos A}}\right)^2$ au lieu de $\dfrac{1-\sin^2\theta}{\cos^2 A}=\left({1-\dfrac{\sin\theta}{\sin A}}\right)^2$ on obtient $\dfrac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos^2 A}=-\cos^2 A$
Finalement on a : $$\begin{align*} &\dfrac{\sin\alpha \sin\beta}{\sin^2 A}+\dfrac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos^2 A}\\ &=-\left({\cos^2 A+\sin^2 A}\right)=-1 \end{align*}$$