Questions mathématiques diverses

Question 9:
Soit α\alpha, β\beta deux solutions de l'équation x2+px−q=0x^2+px-q=0 et γ\gamma, δ\delta deux solutions de l'équation x2+px+r=0x^2+px+r=0 avec q+r≠0q+r\neq 0
Montrer que : (α−γ)(α−δ)(β−γ)(β−δ)=1\dfrac{(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\beta-\gamma)(\beta-\delta)}=1
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Soit $\alpha$, $\beta$ deux solutions de l'équation $x^2+px-q=0$ et $\gamma$, $\delta$ deux solutions de l'équation $x^2+px+r=0$ avec $q+r\neq 0$

Montrer que : $\dfrac{(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\beta-\gamma)(\beta-\delta)}=1$
Réponse 9:
x2+px+r=0x^2+px+r=0 ⟹{γ+δ=−pγδ=r\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}&{\gamma+\delta=-p}\\&{\gamma\delta=r}\end{aligned}}\right.
  • (α−γ)(α−δ)(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta) =α2−α(γ+δ)+γδ=\alpha^2-\alpha(\gamma+\delta)+\gamma\delta =α2+αp+r=q+r=\alpha^2+\alpha p+r=q+r (car α\alpha solution de l'équation x2+px−q=0x^2+px-q=0)
  • (β−γ)(β−δ)(\beta-\gamma)(\beta-\delta) =β2−β(γ+δ)+γδ=\beta^2-\beta(\gamma+\delta)+\gamma\delta =β2+βp+r=q+r=\beta^2+\beta p+r=q+r (car β\beta solution de l'équation x2+px−q=0x^2+px-q=0)
Donc (α−γ)(α−δ)(β−γ)(β−δ)=q+rq+r=1\dfrac{(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\beta-\gamma)(\beta-\delta)}=\dfrac{q+r}{q+r}=1

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