Questions mathématiques diverses

Question 9:
Soit $\alpha$, $\beta$ deux solutions de l'équation $x^2+px-q=0$ et $\gamma$, $\delta$ deux solutions de l'équation $x^2+px+r=0$ avec $q+r\neq 0$
Montrer que : $\dfrac{(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\beta-\gamma)(\beta-\delta)}=1$

Réponse 9:
$x^2+px+r=0$ $\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}&{\gamma+\delta=-p}\\&{\gamma\delta=r}\end{aligned}}\right.$

• $(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta)$ $=\alpha^2-\alpha(\gamma+\delta)+\gamma\delta$ $=\alpha^2+\alpha p+r=q+r$ (car $\alpha$ solution de l'équation $x^2+px-q=0$)
• $(\beta-\gamma)(\beta-\delta)$ $=\beta^2-\beta(\gamma+\delta)+\gamma\delta$ $=\beta^2+\beta p+r=q+r$ (car $\beta$ solution de l'équation $x^2+px-q=0$)

Donc $\dfrac{(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\beta-\gamma)(\beta-\delta)}=\dfrac{q+r}{q+r}=1$