Questions mathématiques diverses

Question 89:
Montrer l'inégalité suivante
$$\int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^n}}>1-\frac{1}{n}$$ où $n$ est un entier naturel non nul.

Réponse 89:
$$\begin{align*} &\int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^n}}=\int_{0}^{1}{\frac{1+x^n-x^n}{1+x^n}}dx\\ &=\int_{0}^{1}{\left({1-\dfrac{x^n}{1+x^n\dfrac{}{}}}\right)}dx\\ &=1-\int_{0}^{1}{\dfrac{x^n}{1+x^n}}dx \geqslant1-\int_{0}^{1}{\dfrac{x^{n-1}}{1+x^n}}dx\\ &\iff \int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^n}}\geqslant 1-\dfrac{1}{n}\int_{0}^{1}{\dfrac{nx^{n-1}}{1+x^n}}dx\\ &\iff \int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^n}}\geqslant 1-\dfrac{1}{n}\left[{\ln(1+x^n)}\right]_0^1\\ &\Longrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^n}}\geqslant 1-\dfrac{\ln 2}{n}>1-\dfrac{1}{n} \end{align*}$$