Questions mathématiques diverses

Question 88:
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
La normale à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d'abscisse $0$ admet pour équation $y=2x+3$.
Calculer la limite suivante :
$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{\ln(1+x)}$

Réponse 88:
On considère les fonctions $g,h$ et $k$ telles que $g(x)=f(x^2)$, $h(x)=f(x^2-x)$ et $k(x)=f(x^2+x)$.
La normale à $\mathscr{C}$ au point $A$ admet $2$ comme coefficient directeur donc la tangente à $\mathscr{C}$ en $A$ admet $-\dfrac{1}{2}$ comme coefficient directeur. D'où $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$.
$g,h$ et $k$ sont des fonctions dérivables sur $\R$ telles que pour tout réel $x$ on a : $g'(x)=2xf'(x)$; $h'(x)=(2x-1)f'(x^2-x)$ et $k'(x)=(2x+1)f'(x^2+x)$. donc $g'(0)=0, h'(0)=-f'(0)=\dfrac{1}{2}$ et $k'(0)=f'(0)=-\dfrac{1}{2}$ $$\begin{align*} &\quad\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{\ln(1+x)}\\ &=\quad\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{x}\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &=\lim\limits_{x \to 0}\left[{\dfrac{f(x^2)-f(0)}{x}-5\dfrac{f(x^2-x)-f(0)}{x}+4\dfrac{f(x^2+x)-f(0)}{x}}\right]\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &=\lim\limits_{x \to 0}\left[{\dfrac{g(x)-g(0)}{x}-5\dfrac{h(x)-h(0)}{x}+4\dfrac{k(x)-k(0)}{x}}\right]\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &=(g'(0)-5h'(0)+4k'(0))\times 1\\ &=\left({0-5\times\dfrac{1}{2}}\right)+4\times\left({-\dfrac{1}{2}}\right)\\ &=-\dfrac{9}{2} \end{align*}$$