Questions mathématiques diverses

Question 88:
Soit ff une fonction dérivable sur R\R et C\mathscr{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé
La normale à la courbe C\mathscr{C} au point AA d'abscisse 00 admet pour équation y=2x+3y=2x+3.
Calculer la limite suivante :
limx0f(x2)5f(x2x)+4f(x2+x)ln(1+x)\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{\ln(1+x)}
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Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
La normale à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d'abscisse $0$ admet pour équation $y=2x+3$.
Calculer la limite suivante :
$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{\ln(1+x)}$
Réponse 88:
On considère les fonctions g,hg,h et kk telles que g(x)=f(x2)g(x)=f(x^2), h(x)=f(x2x)h(x)=f(x^2-x) et k(x)=f(x2+x)k(x)=f(x^2+x).
La normale à C\mathscr{C} au point AA admet 22 comme coefficient directeur donc la tangente à C\mathscr{C} en AA admet 12-\dfrac{1}{2} comme coefficient directeur. D'où f(0)=12f'(0)=-\dfrac{1}{2}.
g,hg,h et kk sont des fonctions dérivables sur R\R telles que pour tout réel xx on a : g(x)=2xf(x)g'(x)=2xf'(x); h(x)=(2x1)f(x2x)h'(x)=(2x-1)f'(x^2-x) et k(x)=(2x+1)f(x2+x)k'(x)=(2x+1)f'(x^2+x). donc g(0)=0,h(0)=f(0)=12g'(0)=0, h'(0)=-f'(0)=\dfrac{1}{2} et k(0)=f(0)=12k'(0)=f'(0)=-\dfrac{1}{2} limx0f(x2)5f(x2x)+4f(x2+x)ln(1+x)=limx0f(x2)5f(x2x)+4f(x2+x)xxln(1+x)=limx0[f(x2)f(0)x5f(x2x)f(0)x+4f(x2+x)f(0)x]xln(1+x)=limx0[g(x)g(0)x5h(x)h(0)x+4k(x)k(0)x]xln(1+x)=(g(0)5h(0)+4k(0))×1=(05×12)+4×(12)=92\begin{align*} &\quad\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{\ln(1+x)}\\ &=\quad\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{x}\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &=\lim\limits_{x \to 0}\left[{\dfrac{f(x^2)-f(0)}{x}-5\dfrac{f(x^2-x)-f(0)}{x}+4\dfrac{f(x^2+x)-f(0)}{x}}\right]\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &=\lim\limits_{x \to 0}\left[{\dfrac{g(x)-g(0)}{x}-5\dfrac{h(x)-h(0)}{x}+4\dfrac{k(x)-k(0)}{x}}\right]\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &=(g'(0)-5h'(0)+4k'(0))\times 1\\ &=\left({0-5\times\dfrac{1}{2}}\right)+4\times\left({-\dfrac{1}{2}}\right)\\ &=-\dfrac{9}{2} \end{align*}

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