Questions mathématiques diverses

Question 88:
Soit ff une fonction dérivable sur R\R et C\mathscr{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé
La normale à la courbe C\mathscr{C} au point AA d'abscisse 00 admet pour équation y=2x+3y=2x+3.
Calculer la limite suivante :
lim⁡x→0f(x2)−5f(x2−x)+4f(x2+x)ln⁡(1+x)\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{\ln(1+x)}
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Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé

La normale à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d'abscisse $0$ admet pour équation $y=2x+3$.

Calculer la limite suivante : 

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{\ln(1+x)}$
Réponse 88:
On considère les fonctions g,hg,h et kk telles que g(x)=f(x2)g(x)=f(x^2), h(x)=f(x2−x)h(x)=f(x^2-x) et k(x)=f(x2+x)k(x)=f(x^2+x).
La normale à C\mathscr{C} au point AA admet 22 comme coefficient directeur donc la tangente à C\mathscr{C} en AA admet −12-\dfrac{1}{2} comme coefficient directeur. D'où f′(0)=−12f'(0)=-\dfrac{1}{2}.
g,hg,h et kk sont des fonctions dérivables sur R\R telles que pour tout réel xx on a : g′(x)=2xf′(x)g'(x)=2xf'(x); h′(x)=(2x−1)f′(x2−x)h'(x)=(2x-1)f'(x^2-x) et k′(x)=(2x+1)f′(x2+x)k'(x)=(2x+1)f'(x^2+x). donc g′(0)=0,h′(0)=−f′(0)=12g'(0)=0, h'(0)=-f'(0)=\dfrac{1}{2} et k′(0)=f′(0)=−12k'(0)=f'(0)=-\dfrac{1}{2} lim⁡x→0f(x2)−5f(x2−x)+4f(x2+x)ln⁡(1+x)=lim⁡x→0f(x2)−5f(x2−x)+4f(x2+x)xxln⁡(1+x)=lim⁡x→0[f(x2)−f(0)x−5f(x2−x)−f(0)x+4f(x2+x)−f(0)x]xln⁡(1+x)=lim⁡x→0[g(x)−g(0)x−5h(x)−h(0)x+4k(x)−k(0)x]xln⁡(1+x)=(g′(0)−5h′(0)+4k′(0))×1=(0−5×12)+4×(−12)=−92\begin{align*} &\quad\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{\ln(1+x)}\\ &=\quad\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{x}\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &=\lim\limits_{x \to 0}\left[{\dfrac{f(x^2)-f(0)}{x}-5\dfrac{f(x^2-x)-f(0)}{x}+4\dfrac{f(x^2+x)-f(0)}{x}}\right]\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &=\lim\limits_{x \to 0}\left[{\dfrac{g(x)-g(0)}{x}-5\dfrac{h(x)-h(0)}{x}+4\dfrac{k(x)-k(0)}{x}}\right]\dfrac{x}{\ln(1+x)}\\ &=(g'(0)-5h'(0)+4k'(0))\times 1\\ &=\left({0-5\times\dfrac{1}{2}}\right)+4\times\left({-\dfrac{1}{2}}\right)\\ &=-\dfrac{9}{2} \end{align*}

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