Questions mathématiques diverses

Question 87:
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\R _+$ telle que $f(0)=0$ et $\forall x\in\R _+; f'(x)\geqslant0\;et\;f"(x)\geqslant0$
$\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont les abscisses de trois points de la courbe représentative de $f$ tels que $0<\alpha<\beta<\gamma$
Montrer que $\gamma f(\gamma+\beta-\alpha)\geqslant(\gamma+\beta-\alpha)f(\gamma)$

Réponse 87:
Posons $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ et $h(x)=xf'(x)-f(x)$
$g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\dfrac{h(x)}{x^2}$
$h'(x)=xf"(x)\geqslant 0$ sur $\R _+$ donc $h$ est croissante sur $\R _+$ et puisque $h(0)=0$ alors $\forall x\in\R _+;h(x)\geqslant 0$ d'où $g'(x)\geqslant0$ ce qui permet de dire que $g$ est crissante sur $\R _+$
$\alpha<\beta$ $\Longrightarrow \beta-\alpha>0$ $\Longrightarrow \gamma+\beta-\alpha>\gamma$ $\Longrightarrow g(\gamma+\beta-\alpha)\geqslant g(\gamma)$ $\Longrightarrow \dfrac{f(\gamma+\beta-\alpha)}{\gamma+\beta-\alpha}\geqslant\dfrac{f(\gamma)}{\gamma}$ ou encore $\gamma f(\gamma+\beta-\alpha)\geqslant (\gamma+\beta-\alpha)f(\gamma)$