Questions mathématiques diverses

Question 85:
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a^2+b^2+2b\neq 0$
Montrer que si on a $\left\{{\begin{aligned}&{\sin x+\sin y=a}\\&{\cos x+\cos y=b}\end{aligned}}\right.$
Alors $\tan \dfrac{x}{2}$ et $\tan \dfrac{y}{2}$ sont les deux solutions de l'équation $(E):(a^2+b^2+2b)t^2-4at+(a^2+b^2-2b)=0$

Réponse 85:
$$\begin{align*} a&=\sin x+\sin y\\ &=2\sin\left({\dfrac{x+y}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right) \\ b&=\cos x+\cos y\\ &=2\cos\left({\dfrac{x+y}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right) \end{align*}$$ On note $\alpha$ et $\beta$ les solutions de l'équation $(E)$ alors $(\alpha,\beta)$ est une solutions du système $(S)\left\{{\begin{aligned}&{\alpha+\beta=\dfrac{4a}{a^2+b^2+2b}}\\&{\alpha\beta=\dfrac{a^2+b^2-2b}{a^2+b^2+2b}}\end{aligned}}\right.$ $$\begin{align*} a^2+b^2&=\sin^2x+\sin^2y+2\sin x\sin y\\ &\quad+\cos^2x+\cos^2y+2\cos x\cos y\\ &=2(1+\sin x\sin y+\cos x\cos y)\\ &=2(1+\cos(x-y))\\ &=4\cos^2\left({\dfrac{x-y}{2}}\right) \end{align*}$$ $$\begin{align*} 🔶&a^2+b^2+2b\\ =&4\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)\left[{\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)+\cos\left({\dfrac{x+y}{2}}\right)}\right]\\ =&8\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{x}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{y}{2}}\right)\\ 🔶&a^2+b^2-2b\\ &=4\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)\left[{\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)-\cos\left({\dfrac{x+y}{2}}\right)}\right]\\ &=8\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)\sin\left({\dfrac{x}{2}}\right)\sin\left({\dfrac{y}{2}}\right)\\ 🔶&\dfrac{4a}{a^2+b^2+2b}\\ &=\dfrac{4\times 2\sin\left({\dfrac{x+y}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)}{8\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{x}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{y}{2}}\right)}\\ &=\dfrac{\sin\left({\dfrac{x}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{y}{2}}\right)+\sin\left({\dfrac{y}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{x}{2}}\right) }{\cos\left({\dfrac{x}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{y}{2}}\right)}\\ &=\tan\left({\dfrac{x}{2}}\right)+\tan\left({\dfrac{y}{2}}\right)\\ 🔶&\dfrac{a^2+b^2-2b}{a^2+b^2+2b}\\ &=\dfrac{8\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)\sin\left({\dfrac{x}{2}}\right)\sin\left({\dfrac{y}{2}}\right)}{8\cos\left({\dfrac{x-y}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{x}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{y}{2}}\right)}\\ &=\tan\left({\dfrac{x}{2}}\right)\tan\left({\dfrac{y}{2}}\right) \end{align*}$$ Alors $\left({\tan\left({\dfrac{x}{2}}\right),\tan\left({\dfrac{y}{2}}\right)}\right)$ est une solution du système $(S)$ donc $\tan\left({\dfrac{x}{2}}\right)$ et $\tan\left({\dfrac{y}{2}}\right)$ sont les solutions de l'équation $(E)$