Questions mathématiques diverses

Question 84:
Calculer l'intégrale suivante :
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left({\cos^2(\sin x)+\sin^2(\cos x)}\right)dx}$

Réponse 84:
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left({\cos^2(\sin x)+\sin^2(\cos x)}\right)dx}$
D'après la formule du $Question\,82$ on a aussi $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left({\cos^2\left({\sin\left({\dfrac{\pi}{2}-x}\right)}\right)+\sin^2\left({\cos\left({\dfrac{\pi}{2}-x}\right)}\right)}\right)dx}$ $\iff I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left({\cos^2(\cos x)+\sin^2(\sin x)}\right)dx}$ donc $2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left({\cos^2(\sin x)+\sin^2(\sin x)}\right)dx}$ $+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left({\sin^2(\cos x)+\cos^2(\cos x)}\right)dx}$ $=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(1+1)dx}=\pi$ D'où $\boxed{I=\dfrac{\pi}{2}}$