Questions mathématiques diverses

Question 82:
(Une propriété de l'intégrale)
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$.
Sans utiliser un changement de variable, Montrer que : $\int_{a}^{b}{f(a+b-x)\,dx}=\int_{a}^{b}{f(x)\,dx}$

Réponse 82:
Soit $g$ la fonction définie sur $[a,b]$ par : $g(x)=f(a+b-x)-f(x)$. $$\begin{align*} &\forall x\in[a,b];a+b-x\in[a,b]\;et\\ & g(a+b-x)\\ &=f(a+b-(a+b-x))-f(a+b-x)\\ &=-g(x) \end{align*}$$ Donc le point $I\left({\frac{a+b}{2},0}\right)$ est un centre de symétrie pour la courbe de $g$.
donc $\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}{g(x)dx}=-\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}{g(x)dx}$ ou encore $\int_{a}^{b}{g(x)dx}=0$ ce qui donne finalement $\boxed{\int_{a}^{b}{f(a+b-x)\,dx}=\int_{a}^{b}{f(x)\,dx}}$