Questions mathématiques diverses

Question 81:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
$\mathscr{C}$ un cercle tangent aux deux axes du repère en $A$ et $B$ et situé dans le quart du plan $\left\{{(x,y)/ x\geqslant0\;et\;y\geqslant0 }\right\}$.
$M(a,b)$ un point du cercle $\mathscr{C}$ tel que $d(M,(AB))=11$
Calculer $a\times b$

Réponse 81:
Soit $r$ le rayon du cercle $\mathscr{C}$ alors son centre $I(r,r)$
$(AB): x+y-r=0$
$M(a,b)\in\mathscr{C}$ $\iff (a-r)^2+(b-r)^2=r^2$ $\iff a^2+b^2-2r(a+b)+2r^2=r^2$ $\iff a^2+b^2-2r(a+b)+r^2=0\quad (*)$ $$\begin{align*} &d(M,(AB))=\dfrac{|a+b-r|}{\sqrt{2}}=11\\ &\iff |a+b-r|=11\sqrt{2}\\ &\iff (a+b-r)^2=242\\ &\iff a^2+b^2+r^2+2ab-2ra-2rb=242\\ &\iff a^2+b^2-2r(a+b)+r^2=242-2ab\\ &\iff 242-2ab=0\quad (d'après\;(*))\\ &\iff \boxed{ab=121} \end{align*}$$