Questions mathématiques diverses

Question 78:
Soit $f$ une fonction dérivable et de dérivée continue sur $[0,\pi]$ telle que pour tout réel $x\in[0,\pi]$ on a : $f(x)+f(\pi-x)=\pi^2$.
Calculer alors l'integrale $I=\int_{0}^{\pi}{f(x)\sin xdx}$

Réponse 78:
$$\begin{align*} &\int_{0}^{\pi}{f(\pi-x)\sin x\,dx}\\ =&\left[{-f(\pi-x)\cos x}\right]_0^\pi-\int_{0}^{\pi}{f'(\pi-x)\cos x\,dx}\\ =&f(0)+f(\pi)+\int_{0}^{\pi}{f'(x)\cos x\,dx}\\ =&f(0)+f(\pi)+\left[{f(x)\cos x}\right]_0^\pi+\int_{0}^{\pi}{f(x)\sin x\,dx}\\ =&f(0)+f(\pi)-f(0)-f(\pi)+\int_{0}^{\pi}{f(x)\sin x\,dx}\\ =&\int_{0}^{\pi}{f(x)\sin x\,dx} \end{align*}$$ $I=\int_{0}^{\pi}{f(x)\sin x\,dx}$ $=\int_{0}^{\pi}{f(\pi-x)\sin x\,dx}$
Alors $2I=\int_{0}^{\pi}{f(x)\sin x\,dx}+\int_{0}^{\pi}{f(\pi-x)\sin x\,dx}$ $\iff 2I=\int_{0}^{\pi}{(f(x)+f(\pi-x))\sin x\,dx}$ $\iff 2I=\pi^2\int_{0}^{\pi}{\sin x\,dx}=2\pi^2$
Donc $\boxed{I=\pi^2}$