Questions mathématiques diverses

Question 77:
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $[a,b]$ telle que pour tout réel $x\in]a,b[; f"(x)<0$.
Montrer que pour tout réel $c\in]a,b[;(f(c)-f(a))(b-c)>(f(b)-f(c))(c-a)$

Réponse 77:
D'après le théorème des accroissements finis il existe $u\in]a,c[$ et $v\in]c,b[$ tels que $f'(u)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}$ et $f'(v)=\dfrac{f(b)-f(c)}{b-c}$
$\forall x\in]a,b[;f"(x)<0$ $\Longrightarrow f'$ strictement dévroissante sur $[a,b]$ et puisque $u < v$ alors $f'(u) > f'(v)$ ce qui donne
$\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a} > \dfrac{f(b)-f(c)}{b-c}$ ou encore $(f(c)-f(a))(b-c) > (f(b)-f(c))(c-a)$