Questions mathématiques diverses

Question 77:
Soit ff une fonction deux fois dérivable sur un intervalle [a,b][a,b] telle que pour tout réel x∈]a,b[;f"(x)<0x\in]a,b[; f"(x)<0.
Montrer que pour tout réel c∈]a,b[;(f(c)−f(a))(b−c)>(f(b)−f(c))(c−a)c\in]a,b[;(f(c)-f(a))(b-c)>(f(b)-f(c))(c-a)
Voir les commentaires sur facebook
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $[a,b]$ telle que pour tout réel $x\in]a,b[; f"(x)<0$.

Montrer que pour tout réel $c\in]a,b[;(f(c)-f(a))(b-c)>(f(b)-f(c))(c-a)$
Réponse 77:
D'après le théorème des accroissements finis il existe u∈]a,c[u\in]a,c[ et v∈]c,b[v\in]c,b[ tels que f′(u)=f(c)−f(a)c−af'(u)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a} et f′(v)=f(b)−f(c)b−cf'(v)=\dfrac{f(b)-f(c)}{b-c}
∀x∈]a,b[;f"(x)<0\forall x\in]a,b[;f"(x)<0 ⟹f′\Longrightarrow f' strictement dévroissante sur [a,b][a,b] et puisque u<vu < v alors f′(u)>f′(v)f'(u) > f'(v) ce qui donne
f(c)−f(a)c−a>f(b)−f(c)b−c\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a} > \dfrac{f(b)-f(c)}{b-c} ou encore (f(c)−f(a))(b−c)>(f(b)−f(c))(c−a)(f(c)-f(a))(b-c) > (f(b)-f(c))(c-a)

Retour

Toutes les questions

Charte d'utilisation --- Plan du site
Copyright © 2010-2025 Dhaouadi Nejib - Tunisia