Questions mathématiques diverses

Question 75:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
Soit $ABC$ et $DOE$ deux triangles tels que les sommets $A,B,C,D$ et $E$ d'affixes respectives $z_1,z_2,z_3,z_4$ et $z_5$.
Montrer que si $(z_3-z_2)z_4=(z_1-z_2)z_5$ alors les triangles $ABC$ et $DOE$ sont semblables.

Réponse 75:
$(z_3-z_2)z_4=(z_1-z_2)z_5$ $\iff \dfrac{z_3-z_2}{z_1-z_2}=\dfrac{z_5}{z_4}$ $\iff \left|{\dfrac{z_3-z_2}{z_1-z_2}}\right|=\left|{\dfrac{z_5}{z_4}}\right|$ et $\arg\left({\dfrac{z_3-z_2}{z_1-z_2}}\right)\equiv \arg\left({\dfrac{z_5}{z_4}}\right)\;[2\pi]$ $\iff \dfrac{|z_3-z_2|}{|z_1-z_2|}=\dfrac{|z_5|}{|z_4|}$ et $\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}}\equiv \widehat{\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OE}}\;[2\pi]$ ou encore $\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{OE}{OD}$ et $\widehat{ABC}=\widehat{DOE}$ donc les deux triangles sont semblables