Questions mathématiques diverses

Question 73:
Le plan complexe est rapporté à hn repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
Soit $AOB$ un triangle tel que les points $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $z_1$ et $z_2$
Montrer que si $z_1^2+z_2^2+z_1z_2=0$ alors $OA=OB$ et $\widehat{AOB}=\dfrac{2\pi}{3}$

Réponse 73:
On pose $j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
$z_1^2+z_2^2+z_1z_2=0$ $\iff (z_1-jz_2)(z_1-j^2z_2)=0$ $\iff z_1=jz_2$ ou $z_1=j^2z_2=\bar{j}z_2$ $\iff A$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\pm\dfrac{2\pi}{3}$ $\iff OA=OB$ et $\widehat{AOB}=\dfrac{2\pi}{3}$