Questions mathématiques diverses

Question 69:
Soit $z$ un nombre complexe d'argument $\theta \in \left]{0,\dfrac{\pi}{2}}\right[$ tel que $|z-3i|=3$.
Montrer que $\cot \theta -\dfrac{6}{z}=i$

Réponse 69:
On pose $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.
$|z-3i|=3$ donc le point $P(z)$ appartient au cercle $\mathscr{C}$ de centre de coordonnées $(0,3)$ et de rayon $3$
$[OB]$ est un diamètre du cercle $\mathscr{C}$ donc le triangle $OPB$ est rectangle en $P$ en plus $\widehat{AOP}$ et $\widehat{OBP}$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc donc $\widehat{OBP}=\widehat{AOP}=\theta$
Donc $r=OB\sin\theta=6\sin\theta$ $\Longrightarrow z=6\sin\theta(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\Longrightarrow \dfrac{6}{z}=\dfrac{1}{\sin\theta(\cos\theta+i\sin\theta)}$ $\Longrightarrow \dfrac{6}{z}=\dfrac{\cos\theta-i\sin\theta}{\sin\theta}$ $\Longrightarrow\dfrac{6}{z}=\cot\theta-i$ donc $\boxed{\cot\theta-\dfrac{6}{z}=i}$