Questions mathématiques diverses

Question 68:
On note $j$ et $j^2$ les racines cubiques de l'unité autres que 1.
$a, b$ et $c$ sont des nombres complexes tels que :
$\left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{1}{a+j}+\dfrac{1}{b+j}+\dfrac{1}{c+j}=2j^2}\\&{\dfrac{1}{a+j^2}+\dfrac{1}{b+j^2}+\dfrac{1}{c+j^2}=2j}\end{aligned}}\right.$
Déterminer la valeur de l'expression $A=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}$.

Réponse 68:
$$\begin{align*} &\left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{1}{a+j}+\dfrac{1}{b+j}+\dfrac{1}{c+j}=2j^2}\\&{\dfrac{1}{a+j^2}+\dfrac{1}{b+j^2}+\dfrac{1}{c+j^2}=2j}\end{aligned}}\right.\\ &\left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{1}{a+j}+\dfrac{1}{b+j}+\dfrac{1}{c+j}=\dfrac{2}{j}}\\&{\dfrac{1}{a+j^2}+\dfrac{1}{b+j^2}+\dfrac{1}{c+j^2}=\dfrac{2}{j^2}}\end{aligned}}\right. \end{align*}$$ Donc $j$ et $j^2$ sont des solutions de l'équation :
$\dfrac{1}{a+z}+\dfrac{1}{b+z}+\dfrac{1}{c+z}=\dfrac{2}{z}$ $\Longrightarrow \dfrac{3z^2+2(a+b+c)z+(bc+ca+ab)}{(a+z)(b+z)(c+z)}=\dfrac{2}{z}$ $\Longrightarrow z^3+(bc+ca+ab)z-2abc=0$
On note $\alpha$ la troisième solution de cette équation alors $\alpha+j+j^2=0$ donc $\alpha=-j-j^2=1$ et par suite $\alpha$ vérife l'équation et on obtient $\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=2$