Questions mathématiques diverses

Question 66:
Déterminer l'ensemble des réels $a$ pour lesquels l'équation $a\sin\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)=\sin 2x+9$ admet des solutions réelles.

Réponse 66:
$$\begin{align*} &a\sin\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)=\sin 2x+9\quad (*)\\ &\dfrac{a}{\sqrt{2}}(\cos x+\sin x)=2\sin x\cos x+9\\ &\dfrac{a}{\sqrt{2}}(\cos x+\sin x)=(\cos x+\sin x)^2+8\\ \end{align*}$$ On pose $t=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos\left({x-\dfrac{\pi}{4}}\right)$ et l'équation devient $t^2-\dfrac{a}{\sqrt{2}}t+8=0$ avec $t\in\left[{-\sqrt{2},\sqrt{2}}\right]$
On pose $f(t)=t^2-\dfrac{a}{\sqrt{2}}t+8$
L'équation $(*)$ admet des solutions $\iff$ l'équation $f(t)=0$ admet des solutions et puisque le produit des solutions de la dernière équation est égal à $8$ donc une seule $\in\left[{-\sqrt{2},\sqrt{2}}\right]$. donc $f(-\sqrt{2})f(\sqrt{2}) \leqslant 0$ $\iff (2+a+8)(2-a+8)\leqslant0$ $\iff (a+10)(10-a)\leqslant0$ $\iff a \leqslant -10$ ou $a \geqslant 10$ $\iff |a|\geqslant 10$