Questions mathématiques diverses

Question 49:
Montrer les égalités suivantes

•    $\cos 55°+\cos 65°+\cos 175°=0$
•    $\cos 18°-\sin 18°=\sqrt{2}\sin 27°$

Réponse 49:
$$\begin{align*} &\cos 55°+\cos 65°+\cos 175°\\ &=2\cos\left({\dfrac{55°+65°}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{55°-65°}{2}}\right)+\cos 175°\\ &=2\cos 60°\cos(-5°)+\cos 175°\\ &=2\times\dfrac{1}{2}\cos 5°+\cos(180°-5°)\\ &=\cos 5°-\cos 5°=0\\ \\ &\cos 18°-\sin 18°\\ &=\cos 18°-\sin(90°-72°)\\ &=\cos 18°-\cos 72°\\ &=2\sin\left({\dfrac{18°+72°}{2}}\right)\sin\left({\dfrac{72°-18°}{2}}\right)\\ &=2\sin 45°\sin 27°= 2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin 27°\\ &=\sqrt{2}\sin 27° \end{align*}$$