Questions mathématiques diverses

Question 49:
Montrer les égalités suivantes
  •    cos55°+cos65°+cos175°=0\cos 55°+\cos 65°+\cos 175°=0
  •    cos18°sin18°=2sin27°\cos 18°-\sin 18°=\sqrt{2}\sin 27°
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Montrer les égalités suivantes 
  •    $\cos 55°+\cos 65°+\cos 175°=0$
  •    $\cos 18°-\sin 18°=\sqrt{2}\sin 27°$
Réponse 49:
cos55°+cos65°+cos175°=2cos(55°+65°2)cos(55°65°2)+cos175°=2cos60°cos(5°)+cos175°=2×12cos5°+cos(180°5°)=cos5°cos5°=0cos18°sin18°=cos18°sin(90°72°)=cos18°cos72°=2sin(18°+72°2)sin(72°18°2)=2sin45°sin27°=2×22sin27°=2sin27°\begin{align*} &\cos 55°+\cos 65°+\cos 175°\\ &=2\cos\left({\dfrac{55°+65°}{2}}\right)\cos\left({\dfrac{55°-65°}{2}}\right)+\cos 175°\\ &=2\cos 60°\cos(-5°)+\cos 175°\\ &=2\times\dfrac{1}{2}\cos 5°+\cos(180°-5°)\\ &=\cos 5°-\cos 5°=0\\ \\ &\cos 18°-\sin 18°\\ &=\cos 18°-\sin(90°-72°)\\ &=\cos 18°-\cos 72°\\ &=2\sin\left({\dfrac{18°+72°}{2}}\right)\sin\left({\dfrac{72°-18°}{2}}\right)\\ &=2\sin 45°\sin 27°= 2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin 27°\\ &=\sqrt{2}\sin 27° \end{align*}

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