Questions mathématiques diverses

Question 48:
Soit $x$ un réel tel que $\pi < x < 2\pi$ et $x\neq \dfrac{3\pi}{2}$
Montrer que :
$\dfrac{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}-\sqrt{1-\cos x}}=\cot\left({\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}}\right)$

Réponse 48:
$$\begin{align*} &\dfrac{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}-\sqrt{1-\cos x}}\\ &=\dfrac{\sqrt{2\cos^2\left({\dfrac{x}{2}}\right)+\sqrt{2\sin^2\left({\dfrac{x}{2}}\right)}}}{\sqrt{2\cos^2\left({\dfrac{x}{2}}\right)-\sqrt{2\sin^2\left({\dfrac{x}{2}}\right)}}}\\ &=\dfrac{\left|{\cos\left({\dfrac{x}{2}}\right)}\right|+\left|{\sin\left({\dfrac{x}{2}}\right)}\right|}{\left|{\cos\left({\dfrac{x}{2}}\right)}\right|-\left|{\sin\left({\dfrac{x}{2}}\right)}\right|}\\ &=\dfrac{-\cos\left({\dfrac{x}{2}}\right)+\sin\left({\dfrac{x}{2}}\right)}{-\cos\left({\dfrac{x}{2}}\right)-\sin\left({\dfrac{x}{2}}\right)}\\ &=\dfrac{-\dfrac{\cos\left({\frac{x}{2}}\right)}{\sin\left({\frac{x}{2}}\right)}+1}{-\dfrac{\cos\left({\frac{x}{2}}\right)}{\sin\left({\frac{x}{2}}\right)}-1}\\ &=\dfrac{\cot\left({\dfrac{x}{2}}\right)-1}{\cot\left({\dfrac{x}{2}}\right)+1}\\ &=\cot\left({\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}}\right) \end{align*}$$