Questions mathématiques diverses

Question 47:
Soit $x$ et $y$ des réels tels que
$2\ln(2y-3x)=\ln x+\ln y$
Calculer $\dfrac{x}{y}$

Réponse 47:
Pour que le couple $(x,y)$ soit une solution de l'équation $2\ln(2y-3x)=\ln x+\ln y$ il faut qu'il vérifit les conditions suivantes : $X > 0$ , $y>0$ et $2y-3x >0$ $\iff 0 < x < \dfrac{2}{3}y$ $$\begin{align*} &2\ln(2y-3x)=\ln x+\ln y\\ &\iff \ln(2y-3x)^2=\ln(xy)\\ &\iff (2y-3x)^2=xy\\ &\iff 4y^2-12xy+9x^2=xy\\ &\iff 9x^2-13xy+4y^2=0\\ &\iff 9\left({\dfrac{x}{y}}\right)^2-13\left({\dfrac{x}{y}}\right)+4=0\\ &\Delta=169-144=25=5^2\\ &\dfrac{x}{y}=\dfrac{13-5}{18}=\dfrac{4}{9}<\dfrac{2}{3}\\ &\;ou\;\dfrac{x}{y}=\dfrac{13+5}{18}=1>\dfrac{2}{3} \text{ à rejeter} \end{align*}$$