Questions mathématiques diverses

Question 45:
$x,y$ et $z$ sont des réels strictements positifs différents de $1$.
Montrer que si
$\dfrac{x(y+z-x)}{\ln x}=\dfrac{y(z+x-y)}{\ln y}=\dfrac{z(x+y-z)}{\ln z}$
Alors     $x^yy^x=y^zz^y=z^xx^z$

Réponse 45:
Posons $\dfrac{x(y+z-x)}{\ln x}=\dfrac{y(z+x-y)}{\ln y}=\dfrac{z(x+y-z)}{\ln z}=k$
Donc $\ln x=\dfrac{x(y+z-x)}{k}$ de même on trouve $\ln y=\dfrac{y(x+z-y)}{k}$ et $\ln z=\dfrac{z(x+y-z)}{k}$ $$\begin{align*} \ln(x^yy^x)&=y\ln x+x\ln y\\ &=\dfrac{yx(y+z-x)}{k}+\dfrac{xy(z+x-y)}{k}\\ &=\dfrac{xy^2+xyz-yx^2+xyz+yx^2-xy^2}{k}\\ &=\dfrac{2xyz}{k}\\ \ln(y^zz^y)&=z\ln y+y\ln z\\ &=\dfrac{zy(z+x-y)}{k}+\dfrac{yz(x+y-z)}{k}\\ &=\dfrac{yz^2+xyz-zy^2+xyz+zy^2-yz^2}{k}\\ &=\dfrac{2xyz}{k} \\ \ln(z^xx^z)&=x\ln z+z\ln x\\ &=\dfrac{xz(x+y-z)}{k}+\dfrac{zx(y+z-x)}{k}\\ &=\dfrac{zx^2+xyz-xz^2+xyz+xz^2-zx^2}{k}\\ &=\dfrac{2xyz}{k} \end{align*}$$ $\ln(x^yy^x)=\ln(y^zz^y)=\ln(z^xx^z)$
Donc $x^yy^x=y^zz^y=z^xx^z$