Questions mathématiques diverses

Question 44:
Montrer que pour tous nombres complexes $z$ et $w$
$|z|^2w-|w|^2z=z-w$ $\iff z=w \; ou\;z\overline{w}=1$

Réponse 44:
$$\begin{align*} &|z|^2w-|w|^2z=z-w\\ &\iff |z|^2w-|w|^2z-z+w=0\\ &\iff w(|z|^2+1)-z(|w|^2+1)=0\\ &\iff w(|z|^2+1)=z(|w|^2+1)\\ \end{align*}$$ 1er cas : $w=0$
$|z|^2w-|w|^2z=z-w$ $\iff z=w=0$
2ème cas : $w\not =0$
$w(|z|^2+1)=z(|w|^2+1)$ $\iff \dfrac{z}{w}=\dfrac{|z|^2+1}{|w|^2+1}$
Donc $\dfrac{z}{w}\in\Bbb R_+$ et $\dfrac{z}{w}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}$ $\iff z\overline{w}=w\overline{z}$  (*)
Ainsi on a les équivalences suivantes :
$$\begin{align*} &|z|^2w-|w|^2z=z-w\\ &\iff |z|^2w-|w|^2z-z+w=0\\ &\iff z\overline{z}w-w\overline{w}z-z+w=0\\ &\iff z(\overline{z}w-1)-w(z\overline{w}-1)=0\\ &\iff z(\overline{w}z-1)-w(\overline{w}z-1)=0\quad (d'après (*))\\ &\iff (\overline{z}w-1)(z-w)=0\\ &\iff \overline{z}w-1=0\;ou\;z-w=0\\ &\iff \overline{z}w=1\;ou\;z=w \end{align*}$$