Questions mathématiques diverses

Question 39:
Soit la fonction ff définie sur R╲{32}\Bbb R╲\left\{{\frac{3}{2}}\right\} par : f(x)=3x+52x−3f(x)=\dfrac{3x+5}{2x-3}
On note f1=ff_1=f et fn=fofn−1f_n=fof_{n-1} pour tout n⩾2n\geqslant 2
Calculer f2023(x)+f2024(x)f_{2023}(x)+f_{2024}(x) en fonction de xx.
Voir les commentaires sur facebook
Soit la fonction $f$ définie sur $\Bbb R╲\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$ par : $f(x)=\dfrac{3x+5}{2x-3}$

On note $f_1=f$ et $f_n=fof_{n-1}$ pour tout $n\geqslant 2$ 

Calculer $f_{2023}(x)+f_{2024}(x)$ en fonction de $x$.
Réponse 39:
Soit xx un réel tel que x≠32x\neq \dfrac{3}{2} f2(x)=f(f1(x))=f(f(x))=3×3x+52x−3+52×3x+52x−3−3=9x+15+10x−156x+10−6x+9=19x19=x\begin{align*} f_2(x)&=f(f_1(x))=f(f(x))\\ &=\dfrac{3\times\dfrac{3x+5}{2x-3}+5}{2\times\dfrac{3x+5}{2x-3}-3}\\ &=\dfrac{9x+15+10x-15}{6x+10-6x+9}\\ &=\dfrac{19x}{19}=x \end{align*} A l'aide d'un raisonnement par récurrence, on montre facilement que pour tout entier n⩾1;f2n(x)=xn\geqslant1;\quad f_{2n}(x)=x
Soit un entier n⩾1n\geqslant 1; f2n+1(x)=f(f2n(x))=f(x)f_{2n+1}(x)=f(f_{2n}(x))=f(x)
Donc pour tout entier n⩾1n\geqslant1 fn(x)={xsi n est pairef(x)si n est impairef_n(x)=\begin{cases} x &\text{si n est paire} \\ f(x) &\text{si n est impaire} \end{cases}
f2023(x)+f2024(x)=f(x)+x=3x+52x−3+x=2x2+52x−3\begin{align*} f_{2023}(x)&+f_{2024}(x)\\ &=f(x)+x\\ &=\dfrac{3x+5}{2x-3}+x\\ &=\dfrac{2x^2+5}{2x-3} \end{align*}

Retour

Toutes les questions

Charte d'utilisation --- Plan du site
Copyright © 2010-2025 Dhaouadi Nejib - Tunisia