Questions mathématiques diverses

Question 38:
Soit $f$ une fonction telle que :
$f(1)=1$ et $\forall n\in \Bbb N;n\geqslant 2,f(n)=2\sum\limits_{k=1}^{n-1}{f(k)}$
Déterminer $f(n)$ en fonction de $n$ pour tout entier $n\geqslant 2$

Réponse 38:
On pose $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}$ pour tout entier $n\geqslant 1$
Ainsi pour tout $n\geqslant 2$
$f(n)=S_n-S_{n-1}=2S_{n-1}$ $\iff S_n=3S_{n-1}$ donc $S_n$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier tèrme $S_1=f(1)=1$
D'où $\forall n\geqslant1,$ $\quad S_n=3^{n-1}S_1=3^{n-1}$
Pour tout entier $n\geqslant2$;
$f(n)=S_n-S_{n-1}$ $=3^{n-1}-3^{n-2}$ $\iff f(n)=3^{n-2}(3-1)$ $\iff \boxed{f(n)=2\times3^{n-2}}$