Questions mathématiques diverses

Question 38:
Soit ff une fonction telle que :
f(1)=1f(1)=1 et ∀n∈N;n⩾2,f(n)=2∑k=1n−1f(k)\forall n\in \Bbb N;n\geqslant 2,f(n)=2\sum\limits_{k=1}^{n-1}{f(k)}
Déterminer f(n)f(n) en fonction de nn pour tout entier n⩾2n\geqslant 2
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Soit $f$ une fonction telle que :

$f(1)=1$ et $\forall n\in \Bbb N;n\geqslant 2,f(n)=2\sum\limits_{k=1}^{n-1}{f(k)}$

Déterminer $f(n)$ en fonction de $n$ pour tout entier $n\geqslant 2$
Réponse 38:
On pose Sn=∑k=1nf(k)S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)} pour tout entier n⩾1n\geqslant 1
Ainsi pour tout n⩾2n\geqslant 2
f(n)=Sn−Sn−1=2Sn−1f(n)=S_n-S_{n-1}=2S_{n-1}   ⟺  Sn=3Sn−1\iff S_n=3S_{n-1} donc SnS_n est une suite géométrique de raison 33 et de premier tèrme S1=f(1)=1S_1=f(1)=1
D'où ∀n⩾1,\forall n\geqslant1, Sn=3n−1S1=3n−1\quad S_n=3^{n-1}S_1=3^{n-1}
Pour tout entier n⩾2n\geqslant2;
f(n)=Sn−Sn−1f(n)=S_n-S_{n-1} =3n−1−3n−2=3^{n-1}-3^{n-2}   ⟺  f(n)=3n−2(3−1)\iff f(n)=3^{n-2}(3-1)   ⟺  f(n)=2×3n−2\iff \boxed{f(n)=2\times3^{n-2}}

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