Questions mathématiques diverses

Question 37:
Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x)=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\cos \pi x-x^{2n}\sin(x-1)}{1+x^{2n+1}-x^{2n}}$
Montrer que $f$ est continue en $1$.

Réponse 37:
$$\begin{align*} 🔶Si& \quad 0< x < 1\quad \lim\limits_{n \to +\infty}x^{2n}=0\\ f(x)&=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\cos \pi x-x^{2n}\sin(x-1)}{1+x^{2n+1}-x^{2n}}\\ &=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\cos \pi x-x^{2n}\sin(x-1)}{1+x^{2n}.x-x^{2n}}\\ &=\cos \pi x\\ 🔶Si& \quad x > 1\quad \lim\limits_{n \to +\infty}x^{2n}=+\infty\\ f(x)&=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\dfrac{\cos \pi x}{x^{2n}}-\sin(x-1)}{\dfrac{1}{x^{2n}}+x-1}\\ &=-\dfrac{\sin(x-1)}{x-1}\\ 🔶 f(1)&=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{\cos \pi-\sin 0}{1+1-1}=\cos \pi=-1\\ \end{align*}$$

Continuité en 1

$$\begin{align*} \lim\limits_{x \to 1^-}f(x)&=\lim\limits_{x \to 1^-}\cos \pi x=\cos \pi=-1\\ \lim\limits_{x \to 1^+}f(x)&= \lim\limits_{x \to 1^+}{-\dfrac{\sin(x-1)}{x-1}}\\ &=\lim\limits_{y \to 0}\left({-\dfrac{\sin y}{y}}\right)=-1\\ \lim\limits_{x \to 1^-}f(x)&=\lim\limits_{x \to 1^+}f(x)=f(1) \end{align*}$$ Donc $f$ est continue en $1$.