Questions mathématiques diverses

Question 33:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{(1-\cos \frac{1} {n})\sqrt{(1-\cos \frac{1}{n})\sqrt{(1-\cos \frac{1}{n})...\infty}}}$

Réponse 33:
$$\begin{align*} &Posons\\ &\footnotesize{P_n=n^2\sqrt{\left({1-\cos\frac{1}{n}}\right)\sqrt{\left({1-\cos\frac{1}{n}}\right)\sqrt{\left({1-\cos\frac{1}{n}}\right)...\infty}}}}\\ &\dfrac{p_n}{n^2}=\sqrt{\left({1-\cos\frac{1}{n}}\right)\dfrac{p_n}{n^2}}\\ &\iff \dfrac{p_n}{n^2}=\dfrac{1}{n}\sqrt{\left({1-\cos\frac{1}{n}}\right)p_n}\\ &\iff \dfrac{p_n^2}{n^2}=\left({1-\cos\frac{1}{n}}\right)p_n\\ &\iff p_n=n^2\left({1-\cos\frac{1}{n}}\right)\\ &\lim\limits_{n \to +\infty}p_n=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2} \end{align*}$$