Questions mathématiques diverses

Question 30:
Soit $f$ une fonction définie sur $\Bbb R$ et vérifiant :
Pour tout réel $x$; $f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{3}f(x)$
Montrer que f est périodique et préciser sa période.

Réponse 30:
$\forall x\in\Bbb R$ $f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{3}.f(x)$

• Remplaçons $x$ par $x+1$
  $f(x+2)+f(x)=\sqrt{3}f(x+1)$   (1)
• Remplaçons $x$ par $x-1$
  $f(x+2)+f(x)=\sqrt{3}f(x+1)$    (2)
• (1)+(2) donne
  $f(x+2)+f(x-2)+2f(x)$
  $=\sqrt{3}\left({f(x+1)+f(x-1)}\right) $
  $=\sqrt{3}\left({\sqrt{3}f(x)}\right)=3f(x)$ donc
  $f(x+2)+f(x-2)=f(x)$   (3)
• Remplaçons $x$ par $x+2$
  $f(x+4)+f(x)=f(x+2)$   (4)
• (3)+(4) donne
  $f(x+4)+f(x+2)+f(x-2)+f(x)$
  $=f(x)+f(x+2)$ donc
  $f(x+4)+f(x-2)=0$     (5)
• Remplaçons $x$ par $x+2$
  $f(x+6)+f(x)=0$    (6)
  $\iff f(x+6)=-f(x)$   (7)
• Remplaçons $x$ par $x+6$
  $f(x+12)+f(x+6)=0$   (d'après (6))
  $\iff f(x+12)-f(x)=0$ (d'après (7))
  

Alors $\forall x\in \Bbb R; f(x+12)=f(x)$.
Donc $f$ est périodique de période $12$