Questions mathématiques diverses

Question 29:
Soit k un réel strictement positif.
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1^k+3^k+...+(2n-1)^k}{n^{k+1}}$

Réponse 29:
$$\begin{align*} &\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^3}\sum\limits_{p=1}^{n}{(2p-1)^k}\\ &=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{p=1}^{n}{\left({\dfrac{2p-1}{n}}\right)^k}\\ &=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2^k}{n}\sum\limits_{p=1}^{n}{\left({\dfrac{2p-1}{2n}}\right)^k}\\ &=2^k\int_{0}^{1}{x^k\,dx}\\ &=2^k\left[{\dfrac{1}{k+1}x^{k+1}}\right]_0^1\\ &=\dfrac{2^k}{k+1} \end{align*}$$