SigMathS
Réponse 28:
Pour tout réel $x\geqslant 0$, $x-\dfrac{x^3}{3!}\leqslant \sin x\leqslant x$
En remplaçant $x$ par $\dfrac{n}{n^2+k^2}$ et en faisant la somme membre à membre on obtient l'encadrement (🗝):
$$\begin{align*}
&\footnotesize{\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{n}{n^2+k^2}}-\dfrac{1}{3!}\sum\limits_{k=1}^{n}{\left({\dfrac{n}{n^2+k^2}}\right)^3}\leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{\sin\left({\dfrac{n}{n^2+k^2}}\right)}\leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{n}{n^2+k^2}}}\\
&🔸\lim\limits_{n \to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{n}{n^2+k^2}}=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{1+\left({\frac{k}{n}}\right)^2}}\\
&=\int_{0}^{1}{\dfrac{1}{1+x^2}dx}=\left[{\arctan x}\right]_0^1=\dfrac{\pi}{4}\\
&🔸 En\;plus\\
&\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{n^3}{8n^6}}\leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{\left({\dfrac{n}{n^2+k^2}}\right)^3}\leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{\left({\dfrac{n}{n^2+1}}\right)^3}\\
&\iff \dfrac{1}{8n^2}\leqslant \sum\limits_{k=1}^{n}\left({\dfrac{n}{n^2+k^2}}\right)^3\leqslant \dfrac{1}{n^2\left({1+\frac{1}{n^2}}\right)^3}\\
&\text{et } \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{8n^2}=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^2\left({1+\frac{1}{n^2}}\right)}=0\\
&Donc\; \lim\limits_{n \to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}{\left({\dfrac{n}{n^2+k^2}}\right)^3}=0
\end{align*}$$
En appliquant le théorème des gendarmes sur l'encadrement (🗝) on obtient : $\lim\limits_{n \to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}{\sin\left({\dfrac{n}{n^2+k^2}}\right)}=\dfrac{\pi}{4}$