SigMathS
Réponse 27:
$S_n=1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3^2}+\dfrac{10}{3^3}+...+\dfrac{2(2n-1)}{3^n}$
$$\begin{align*}
&\dfrac{1}{3}S_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{6}{3^3}+\dfrac{10}{3^4}+...+\dfrac{2(2n-1)}{3^{n+1}}\\
&\tiny{S_n-\dfrac{1}{3}S_n=1+\left({\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}}\right)+\left({\dfrac{6}{3^2}-\dfrac{2}{3^2}}\right)+\left({\dfrac{10}{3^3}-\dfrac{6}{3^3}}\right)+\left({\dfrac{2(2n-1)}{3^n}-\dfrac{2(2n-3)}{3^n}}\right)-\dfrac{2(2n-1)}{3^{n+1}}}\\
&\iff \dfrac{2}{3}S_n=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3^2}+\dfrac{4}{3^3}+...+\dfrac{4}{3^n}-\dfrac{2(2n-1)}{3^{n+1}}\\
&\iff \dfrac{2}{3}S_n=4\sum\limits_{k=1}^{n}{\left({\dfrac{1}{3}}\right)^k}-\dfrac{2(2n-1)}{3^{n+1}}\\
&\iff \dfrac{2}{3}S_n=4\times \dfrac{1}{3}\frac{1-\left({\frac{1}{3}}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}-\dfrac{2(2n-1)}{3^{n+1}}\\
&\iff \dfrac{2}{3}S_n=2\left({1-\left({\dfrac{1}{3}}\right)^n}\right)-\dfrac{2(2n-1)}{3^{n+1}}\\
&\iff S_n=3\left({1-\left({\dfrac{1}{3}}\right)^n}\right)-\dfrac{2n-1}{3^{n}}
\end{align*}$$
Pour $n\geqslant 1$; $\ln\left({\dfrac{2n-1}{3^n}}\right)$ $=\ln(2n-1)-n\ln3$
$\small{=(2n-1)\left({\dfrac{\ln(2n-1)}{2n-1}-\dfrac{\ln 3}{2-\dfrac{1}{n}}}\right)}$
Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}\ln\left({\dfrac{2n-1}{3^n}}\right)=-\infty$ d'où $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2n-1}{3^n}=0$
En plus $\lim\limits_{n \to +\infty}\left({\dfrac{1}{3}}\right)^n=0$ car $\dfrac{1}{3}\in\left]{-1,1}\right[$
Finalement $\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}S_n=3}$