Questions mathématiques diverses

Question 25:
Calculer en fonction de $n$ la somme suivante :
$S_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{9}+\dfrac{19}{27}+\dfrac{65}{81}+... (n\;termes)$

Réponse 25:
$$\begin{align*} S_n&=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{9}+\dfrac{19}{27}+\dfrac{65}{81}+...(n\;termes)\\ &=\left({1-\dfrac{2}{3}}\right)+\left({1-\dfrac{4}{9}}\right)+\left({1-\dfrac{8}{27}}\right)+...(n\;termes)\\ &=\small{\left({1-\left({\dfrac{2}{3}}\right)^1}\right)+\left({1-\left({\dfrac{2}{3}}\right)^2}\right)+\left({1-\left({\dfrac{2}{3}}\right)^3}\right)+...+\left({1-\left({\dfrac{2}{3}}\right)^n}\right)}\\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}{\left({1-\left({\dfrac{2}{3}}\right)^k}\right)}\\ &=n-\sum\limits_{k=1}^{n}{\left({\dfrac{2}{3}}\right)^k}\\ &=n-\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1-\left({\dfrac{2}{3}}\right)^n}{1-\dfrac{2}{3}}\\ &=n-2\left({1-\left({\dfrac{2}{3}}\right)^n}\right)\\ &=n-2+\dfrac{2^{n+1}}{3^n} \end{align*}$$