SigMathS
Réponse 24:
$k^4+k^2+1$ $=k^4+2k^2+1-k^2$ $=(k^2+1)^2-k^2$
$=(k^2+1+k)(k^2+1-k)$ $=(k^2+k+1)(k^2-k+1)$
On cherche les réels $a$ et $b$ tels que $\dfrac{k}{k^4+k^2+1}=\dfrac{a}{k^2-k+1}+\dfrac{b}{k^2+k+1}$ on trouve $a=-b=\dfrac{1}{2}$
$$\begin{align*}
&\lim\limits_{n \to +\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k}{k^4+k^2+1}\\
=&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}\left({\dfrac{1}{k^2-k+1}-\dfrac{1}{k^2+k+1}}\right)\\
=&\small{\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{2}\left({\left({1-\dfrac{1}{3}}\right)+\left({\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}}\right)+...+\left({\dfrac{1}{n^2-n+1}-\dfrac{1}{n^2+n+1}}\right)}\right)}\\
&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{2}\left({1-\dfrac{1}{n^2+n+1}}\right)\\
&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{n^2+n}{2n^2+2n+2}\\
&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{2}{n}+\dfrac{2}{n^2}}=\dfrac{1}{2}
\end{align*}$$