Questions mathématiques diverses

SigMathS

Question 21:
Soit

x

un réel tel que

x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{5}

Sans calculer les valeurs possibles de x, calculer

A=\dfrac{x^8+1}{x^6+7x^4+x^2}

Soit $x$ un réel tel que $x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{5}$

Sans calculer les valeurs possibles de x, calculer $A=\dfrac{x^8+1}{x^6+7x^4+x^2}$

SigMathS

Réponse 21:

A=\dfrac{x^4\left({x^4+\dfrac{1}{x^4}}\right)}{x^4\left({x^2+7+\dfrac{1}{x^2}}\right)}

=\dfrac{x^4+\dfrac{1}{x^4}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}+7}

\begin{align*} &x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{5}\\ \Longrightarrow &\left({x+\dfrac{1}{x}}\right)^2=5\\ \Longrightarrow &x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=5\\ \Longrightarrow & x^2+\dfrac{1}{x^2}=3 \quad (*) \\ \Longrightarrow & \left({x^2+\dfrac{1}{x^2}}\right)^2=9\\ \Longrightarrow &x^4+\dfrac{1}{x^4}+2=9\\ \Longrightarrow &x^4+\dfrac{1}{x^4}=7\quad (**) \end{align*}

D'après

(*)

(**)

A=\dfrac{7}{3+7}=\dfrac{7}{10}