Questions mathématiques diverses

Question 21:
Soit $x$ un réel tel que $x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{5}$
Sans calculer les valeurs possibles de x, calculer $A=\dfrac{x^8+1}{x^6+7x^4+x^2}$

Réponse 21:
$A=\dfrac{x^4\left({x^4+\dfrac{1}{x^4}}\right)}{x^4\left({x^2+7+\dfrac{1}{x^2}}\right)}$ $=\dfrac{x^4+\dfrac{1}{x^4}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}+7}$
$$\begin{align*} &x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{5}\\ \Longrightarrow &\left({x+\dfrac{1}{x}}\right)^2=5\\ \Longrightarrow &x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=5\\ \Longrightarrow & x^2+\dfrac{1}{x^2}=3 \quad (*) \\ \Longrightarrow & \left({x^2+\dfrac{1}{x^2}}\right)^2=9\\ \Longrightarrow &x^4+\dfrac{1}{x^4}+2=9\\ \Longrightarrow &x^4+\dfrac{1}{x^4}=7\quad (**) \end{align*}$$ D'après $(*)$ et $(**)$ $A=\dfrac{7}{3+7}=\dfrac{7}{10}$