SigMathS
Réponse 100:
$$\begin{align*}
I&= \int_{-1}^{1}{\dfrac{x^3+|x|+1}{x^2+2|x|+1}}dx\\
&=\int_{-1}^{1}{\dfrac{x^3+(|x|+1)}{(|x|+1)^2}}dx\\
&=\int_{-1}^{1}{\dfrac{x^3}{(1+|x|)^2}}dx+\int_{-1}^{1}{\dfrac{dx}{|x|+1}}
\end{align*}$$
La fonction $x\mapsto \dfrac{x^3}{|x|+1}$ est une fonction impaire donc $$\int_{-1}^{1}{\dfrac{x^3}{|x|+1}}dx=0$$
La fonction $x\mapsto \dfrac{1}{|x|+1}$ est une fonction paire don $$\int_{-1}^{1}{\dfrac{dx}{|x|+1}}=2\int_{0}^{1}{\dfrac{dx}{|x|+1}}$$
Alors $$I=2\int_{0}^{1}{\dfrac{dx}{1+|x|}}$$ $$\iff I=2\int_{0}^{1}{\dfrac{dx}{1+x}}$$ $$\iff I=2\left[{\ln(1+x)}\right]_0^1=2ln2$$